a³ + b³ + c³ − 3abc का सिद्ध (Proof)
गणित की महत्वपूर्ण सर्वसमिका को आसान भाषा में समझें
Level: Class 9–12 | SSC | Railway
a³ + b³ + c³ − 3abc एक महत्वपूर्ण बीजगणितीय सूत्र है। इसका उपयोग परीक्षाओं में तेजी से प्रश्न हल करने के लिए किया जाता है।
a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
Proof (उपपत्ति):
Step 1
a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b)
Step 2
[(a + b)³ − 3ab(a + b)] + c³ − 3abc
Step 3
= (a + b)³ + c³ − 3ab(a + b) − 3abc
= (a + b)³ + c³ − 3ab(a + b + c)
= (a + b)³ + c³ − 3ab(a + b + c)
Step 4
(x³ + y³) = (x + y)(x² − xy + y²)
= (a + b + c)[(a + b)² − (a + b)c + c²] − 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)² − (a + b)c + c²] − 3ab(a + b + c)
Step 5
(a + b + c) common लें:
(a + b + c)[(a + b)² − ac − bc + c² − 3ab]
(a + b + c)[(a + b)² − ac − bc + c² − 3ab]
Step 6
(a + b)² = a² + b² + 2ab
= (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
= (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
Exam Use Case
यदि a + b + c = 0, तो
a³ + b³ + c³ = 3abc
a³ + b³ + c³ = 3abc
Pro Tip: यह identity SSC और बोर्ड परीक्षा में बार-बार पूछी जाती है।
निष्कर्ष:
LHS = RHS सिद्ध हुआ
इति सिद्धम्
LHS = RHS सिद्ध हुआ
इति सिद्धम्
