संवृत्त गुण (Closure Property) क्या है? परिभाषा, उदाहरण और सारणी सहित समझें
जब हम दो संख्याओं को जोड़ते, घटाते, गुणा या भाग करते हैं, तो एक महत्वपूर्ण प्रश्न उठता है — क्या उत्तर उसी संख्या समूह में रहता है? इसी विचार को संवृत्त गुण कहते हैं।
1. संवृत्त गुण की परिभाषा
यदि किसी संख्या समूह S की दो संख्याएँ a और b हों तथा किसी संक्रिया ★ के लिए a ★ b भी उसी समूह S में रहे, तो S उस संक्रिया के लिए संवृत्त कहलाता है।
सरल शब्दों में: समूह के अंदर से शुरू करो, तो उत्तर भी उसी समूह में रहे।
2. प्रमुख संख्या समूह
- प्राकृतिक संख्या: 1, 2, 3, ...
- पूर्ण संख्या: 0, 1, 2, 3, ...
- पूर्णांक: ..., −2, −1, 0, 1, 2, ...
- परिमेय संख्या: p/q (जहाँ q ≠ 0)
संबंध: प्राकृतिक ⊂ पूर्ण ⊂ पूर्णांक ⊂ परिमेय
3. चारों संक्रियाओं में संवृत्त गुण
(1) योग (+)
उदाहरण: 5 + 7 = 12
निष्कर्ष: प्राकृतिक, पूर्ण, पूर्णांक और परिमेय — सभी योग के लिए संवृत्त हैं।
(2) गुणा (×)
उदाहरण: −3 × 4 = −12
निष्कर्ष: प्राकृतिक, पूर्ण, पूर्णांक और परिमेय — सभी गुणा के लिए संवृत्त हैं।
(3) घटाव (−)
उदाहरण: 5 − 8 = −3
5 और 8 प्राकृतिक हैं, लेकिन −3 प्राकृतिक नहीं है।
- प्राकृतिक और पूर्ण संख्या घटाव के लिए संवृत्त नहीं हैं।
- पूर्णांक और परिमेय संख्या घटाव के लिए संवृत्त हैं।
(4) भाग (÷)
उदाहरण: 1 ÷ 2 = 1/2
1 और 2 प्राकृतिक हैं, लेकिन 1/2 प्राकृतिक नहीं है।
- प्राकृतिक, पूर्ण और पूर्णांक भाग के लिए संवृत्त नहीं हैं।
- यदि a और b परिमेय हैं तथा b ≠ 0, तो a ÷ b भी परिमेय होगा।
- किसी भी संख्या को 0 से भाग देना संभव नहीं है।
4. सारणी
| संख्या समूह | योग (+) | गुणा (×) | घटाव (−) | भाग (÷) |
|---|---|---|---|---|
| प्राकृतिक | ✅ | ✅ | ❌ | ❌ |
| पूर्ण | ✅ | ✅ | ❌ | ❌ |
| पूर्णांक | ✅ | ✅ | ✅ | ❌ |
| परिमेय | ✅ | ✅ | ✅ | ⚠ (0 से भाग नहीं) |
5. अभ्यास प्रश्न
- क्या प्राकृतिक संख्याएँ घटाव के लिए संवृत्त हैं? उदाहरण सहित समझाइए।
- क्या पूर्णांक भाग के लिए संवृत्त हैं? कारण बताइए।
- 3/4 ÷ 2/5 का परिणाम किस समूह में आएगा?
6. संवृत्त गुण का महत्व
- परिणाम का प्रकार पहले से ज्ञात हो जाता है।
- बीजगणित की नींव यही है।
- कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में डेटा टाइप निर्धारण में उपयोगी है।
7. सामान्य प्रश्न (FAQ)
प्रश्न: क्या प्राकृतिक संख्याएँ भाग के लिए संवृत्त हैं?
उत्तर: नहीं, क्योंकि 1 ÷ 2 = 1/2 प्राकृतिक संख्या नहीं है।
प्रश्न: क्या परिमेय संख्याएँ भाग के लिए संवृत्त हैं?
उत्तर: हाँ, यदि भाजक 0 न हो।
निष्कर्ष
संवृत्त गुण यह बताता है कि कोई संख्या समूह कितना स्थिर है। योग और गुणा स्थिर क्रियाएँ हैं, जबकि घटाव और भाग ने संख्या पद्धति का विस्तार किया।
Written by Master Manikant
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